Alte Diplom-Vorlesungspfade in math. Studiengängen an der TUM

Erklärungen

Eine Lehr- und Forschungseinheit M* kann aus mehreren Arbeitsgruppen mit verschiedenen Arbeitsgebieten bestehen.

Jede Arbeitsgruppe kann mehrere Vorlesungspfade anbieten (in Klammern ist die jeweils verantwortliche Lehrperson angegeben; die zugehörigen Mitarbeiter entnehme man dem Netz); z.B.

*Vorlesungspfade (Dozent)*
Pfad 1 Funktionalanalysis (Maß- und Integrationstheorie), Partielle Differentialgleichungen (Stochastische Differentialgleichungen), Dynamische Systeme (Nichtlineare Dynamik, Verzweigungstheorie)
Pfad 2 Partielle Differentialgleichungen, Dynamische Systeme, Mathematische Modelle in der Biologie

Diese Angaben sind wie folgt zu interpretieren:

- Es muss nur einer der Pfade 1 oder 2 gewählt werden.
- Veranstaltungen in Klammern können die davor stehenden Vorlesungen ersetzen.
- Zwei von vielen Möglichkeiten zu Pfad 1 lauten: Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen, Dynamische Systeme, Maß- und Integrationstheorie, Stochastische Differentialgleichungen, Nichtlineare Dynamik
- In der Regel sollten die Veranstaltungen in der angegebenen Reihenfolge gehört werden.

M1: Optimierung

Arbeitsgebiet (Prof. Ulbrich): Nichtlineare Optimierung, Optimale Steuerung

Viele wichtige Fragestellungen in den Natur-, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften führen auf das Problem, Maximal- bzw. Minimalstellen einer reellwertigen Zielfunktion (Energie, Kosten, Gewinn, usw.) unter Nebenbedingungen (Budget, Schranken an Parameter, Zustandsgleichungen des zugrundeliegenden Systems usw.) zu bestimmen. Häufig sind diese Probleme sehr hochdimensional (100.000 Unbekannte und mehr). Im Rahmen der mathematischen Optimierung werden solche Optimierungsprobleme systematisch untersucht und effiziente numerische Lösungsverfahren entwickelt. Die Forschung der Arbeitsgruppe M1 konzentriert sich insbesondere auf die Analyse und numerische Behandlung von

- Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen - sehr großen Optimierungsproblemen - stark nichtlinearen Optimierungsproblemen - Anwendungen in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften.

Diese Untersuchungen bieten interessante Überschneidungen mit anderen Disziplinen der Angewandten Mathematik, z.B. Numerik, Partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Wissenschaftliches Rechnen und Finanzmathematik. Der Lehrstuhl pflegt zahlreiche internationale Kontakte zu führenden Experten auf dem Gebiet der Optimierung. Vorlesungspfade (Prof. Ulbrich)
Pfad 1 Lineare Optimierung (= Optimierung 1),Nichtlineare Optimierung (= Optimierung 3),1-2 weitere Spezialvorlesungen im Bereich der Optimierung; z.B. Moderne Methoden der Nichtlinearen Optimierung, Nichtglatte Optimierung, Konvexe Optimierung, Optimierung komplexer Systeme, Optimale Steuerung, Steuerungstheorie, ...
Pfad 2 Lineare Optimierung (= Optimierung 1), Nichtlineare Optimierung (= Optimierung 3), Funktionalanalysis (Partielle Differentialgleichungen, Numerik partieller Differentialgleichungen), Optimale Steuerung (Optimierung komplexer Systeme, Steuerungstheorie o.ä.)

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit Mindestens ein Schein aus Optimierung 1 oder 3 Mindestens ein Schein zu einer vertiefenden Vorlesung über eines der Gebiete Optimierung, Optimalsteuerung, Numerik, Finanz- und Wirtschaftmathematik, Partielle Differentialgleichungen oder Funktionalanalysis Erfolgreiche Teilnahme an einem Seminar des Lehrstuhls Die Diplomarbeitsthemen orientieren sich am aktuellen Stand der Forschung und haben in der Regel einen konkreten Praxisbezug (z.B. in Kooperation mit Unternehmen).

Arbeitsgebiet (Prof. Edenhofer): Partielle Differentialgleichungen, Ingenieurmathematik, Hydrodynamik

Spezielle Probleme der Grundwasserhydraulik, des Oberfl�chenabflusses und des Schadstofftransports in Fl�ssen, Optimalsteuerung von Kanalnetzen.

Vorlesungspfad (Prof. Edenhofer) Pfad 1 Lineare Optimierung (= Optimierung 1), Nichtlineare Optimierung (= Optimierung 3), Partielle Differentialgleichungen

M2: Numerische Mathematik

Arbeitsgebiete (Prof. Rentrop, Prof. Simeon, PD Dr. Callies): Numerische Mathematik

Optimale Auslegung von Turbinenschaufeln

Neue Materialgesetze, Materialien mit Gedächtnis

Optimale Steuerung und deren numerische Realisierung

Numerik gewöhnlicher (einschließlich steifer und differential-algebraischer) Differentialgleichungen, auch in Kombination mit partiellen Differentialgleichungen

Integrierte nichtlineare Designoptimierung auf der Basis von Modellen, die durch gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen beschrieben werden

Computergestützte nichtlineare Geometrieoptimierung - CAGD

Anwendungen hauptsächlich in der Luft- und Raumfahrttechnik, der Fahrzeugtechnik, der Medizintechnik sowie der Robotik.

Vorlesungspfade 5. Sem. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Variationsrechnung und Optimale Steuerung 6. Sem. Numerik partieller Differentialgleichungen mit Schwerpunkt Finite-Elemente, Optimale Steuerung 2, Nichtlineare Optimierung Desweiteren: sollten insgesamt etwa 2-3 weitere Veranstaltungen aus folgenden Themenangebot besucht werden: Partielle Differentialgleichungen, Finite-Element Methoden, Mehrgittermethoden, Funktionalanalysis, Mehrkörperdynamik/Robotik, Geometrie, Differentialgeometrie

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit Mindestens ein Schein aus Numerik 3 oder 4 Mindestens ein Schein aus Variationsrechnung oder Partielle Differentialgleichungen Besuch eines Seminars am Lehrstuhl

M3: Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Arbeitsgebiet (Prof. Bornemann): Wir entwickeln und untersuchen schnelle numerische Lösungsverfahren für Systeme gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Dabei spielen Aspekte wie Nichtlinearität, Adaptivität, Fehlerkontrolle und Realisierung auf Höchstleistungsrechnern eine herausragende Rolle. Neben universell verwendbaren Ansätzen arbeiten wir im interdisziplinärem Umfeld naturwissenschaftlicher Anwendungen an maßgeschneiderten Lösungen für besonders aufwendige Probleme, etwa in der Atmosphären- und Ozeansimulation und der Simulation quantenmechanischer Systeme. Wir sind in DFG- und EU-Projekte eingebunden, es bestehen zahlreiche interdisziplinäre und internationale Kontakte.

Vorlesungspfade (Prof. Bornemann) 5. Sem. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Funktionalanalysis 6. Sem. Numerik partieller Differentialgleichungen mit Schwerpunkt Finite-Elemente, Theorie partieller Differentialgleichungen 7. Sem. Spezialveranstaltung Numerik mit Schwerpunkt auf nichtlinearen Problemen 8. Sem. Fallstudien des Wissenschaftlichen Rechnens (große Anwendungsbeispiele) Desweiteren: insgesamt etwa 2-3 weitere Veranstaltungen aus folgenden Themenangebot besucht werden: Mehrgitter- und Gebietszerlegungsmethoden, gitterfreie Methoden, Wavelets, partielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung, Parallelisierung numerischer Verfahren, nichtlineare Funktionalanalysis, Mehrkörperdynamik und Robotik, Variationsrechnung, Optimalsteuerung, mathematische Strömungsmechanik, Mathematik und Quantenmechanik

Arbeitsgebiet (Prof. Junge):

Wir entwickeln und untersuchen numerische Verfahren zur Analyse von dynamischen Systemen und dynamischen Optimierungproblemen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Entwicklung von effizienten Methoden zur Berechnung globaler Eigenschaften, wie z.B. einer statistischen Charakterisierung des Langzeitverhaltens dynamischer Systeme oder der Berechnung optimaler (Steuerungs-)strategien für dynamische Optimierungsprobleme. Die Verfahren haben Anwendungen z.B. in der Konstruktion von treibstoffoptimalen Raumfahrtmissionen, in der Moleküldynamik und der Mechatronik. Die Arbeiten werden überwiegend durch DFG- und EU-Projekte gefördert, es bestehen zahlreiche lokale und internationale Kontakte, sowohl im akademischen, als auch im industriellen Bereich.

Vorlesungspfade (Prof. Junge) Pfad 1: Numerische Ergodentheorie

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Funktionalanalysis Nichtlineare Dynamik (Verzweigungstheorie) Stochastische Prozesse (Numerik dynamischer Systeme, Numerik partieller Differentialgleichungen, Zeitreihenanalyse, Spektraltheorie, Maß- und Integrationstheorie) Spezialveranstaltungen/Seminare in den Bereichen Numerik, Dynamik, Stochastik Pfad 2: Dynamische Optimierung Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen Nichtlineare Optimierung (Globale Optimierung) Variationsrechnung/Optimale Steuerung (z.B. Kontrolltheorie, Nichtlineare Dynamik, Numerik partieller Differentialgleichungen, Algorithmische Graphentheorie) Spezialveranstaltungen/Seminare in den Bereichen Numerik, Dynamik, Optimierung

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit bei Prof. Bornemann oder Prof. Junge: Besuch wenigstens eines Seminars am Lehrstuhl

M4: Statistik, Finanzmathematik

Arbeitsgebiet (Prof. Klüppelberg): Zeitreihenanalyse, Extremwerttheorie, Risiko Management im Finanz/Versicherungsbereich, Versicherungsmathematik Wir entwickeln neue stochastische Modelle und statistische Analyseverfahren für Finanzzeitreihen und multivariate Portfolios im Finanz- und Versicherungsbereich. Die Analyse von Finanzzeitreihen und Portfolios mit dem Ziel eines mathematisch/statistisch gesicherten Risiko Managements (etwa über den Value-at-Risk) sind heute Standardanforderungen an Mathematiker in Banken und Investmentabteilungen großer Unternehmen. Fragen der adaequaten Modellierung und Analyse stehen hier im Fokus der aktuellen Forschung.

Im Versicherungsgeschäft ist Ziel eines Integrierten Risiko Managements die gemeinsame Modellierung und Bewertung von Versicherungsrisiko und Investmentrisiko. Das führt zu spannenden neuen Fragestellungen. Das Handwerkszeug des klassischen Aktuars wird natürlich darüber hinaus nach wie vor benötigt. Für realistische Modellierung, Analyse und Prognose im Risiko Management sind Verfahren der Zeitreihenanalyse und Statistik, der Stochastischen Prozesse und der Stochastischen Analysis notwendige Grundlagen. Darauf aufbauend stellen Spezialvorlesungen aus der Finanz- und Versicherungsmathematik wichtige Ergänzungen dar. Obwohl einige der genannten Arbeitsgebiete bereits lange bestehen, bedingen die Fragestellungen der modernen Finanzwelt einen enormen aktuellen Forschungsbedarf in diesem international mit "Financial Engineering" bezeichneten Bereich der Finanzmathematik. Grundlage für alle Vorlesungspfade sind mindestens 3 Vorlesungen aus

Wahrscheinlichkeitstheorie (Voraussetzung für alle weiteren Stochastikveranstaltungen)

Stochastische Prozesse,

Mathematische Statistik,

Zeitreihenanalyse,

Stochastische Analysis

Vorlesungspfade (Prof. Klüppelberg) Pfad 1: Risiko Management Risiko Management Extremwerttheorie Discrete-time und Continuous-time Finance Kreditrisikomodelle Multivariate Statistik Pfad 2: Finanzzeitreihen

Zeitreihenanalyse (Voraussetzung) Levy Prozesse Discrete-time und Continuous-time Finance Oekonometrische Modelle Pfad 3: Versicherungsmathematik Extremwerttheorie Risikotheorie Multivariate Statistik Schadenversicherungsmathematik Lebensversicherungsmathematik Pensionsversicherungsmathematik

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit

3 Scheine wahlweise aus Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, Zeitreihenanalyse, Mathematische Statistik, Stochastische Analysis

Schein aus einem Lehrstuhlseminar

Arbeitsgebiet (Prof. Czado): Moderne Regressionsverfahren Bei vielen statistischen Untersuchungen ist man daran interessiert, den Einfluss von Risikofaktoren (Kovariablen) auf Zielvariablen (Response) zu charakterisieren. Für quantitative Zielvariablen bieten lineare Regressionsmodelle die Grundlage für eine solche Quantifizierung. Falls die Zielvariablen jedoch binäre Indikatoren, ordinale Klassifikationen, Zähldaten oder Überlebenszeiten darstellen, sind Erweiterungen wie die Generalisierten Linearen Modelle (GLM) oder Cox Proportional Hazard Regression notwendig. Weitere Schwierigkeiten ergeben sich, wenn Daten über die Zeit erfasst werden, und man entsprechende Abhängigkeitsstrukturen modellieren muss. Ähnliche Fragestellungen sind für die Modellierung von räumlichen und zeitlich verteilten Zielvariablen mit Kovariablen von Interesse. Für diese komplexen Strukturen benötigt man moderne computerintensive Verfahren wie Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Verfahren zur Schätzung. Neben theoretischen Entwicklungen stehen Anwendungen, wie z.B. die Modellierung von Preisveränderungen bei hoch-frequenten Finanzzeitreihen, Überlebenszeitintensitäten zur Berechnung eines Versicherungsmodells in der Pflegeversicherung und die Verkehrsmittelwahl in einer Mobilitätsstudie im Vordergrund. Diese Projekte werden im Rahmen des Graduiertenkolleg "Angewandte Algorithmische Mathematik" und des Teilprojektes "Statistische Methoden für Risikomanagement" des SFB's 386 "Statistische Analyse diskreter Strukturen" gefördert. Daneben bestehen Kooperationen mit Forschern in Dortmund, Göttingen und Toronto.

Vorlesungspfad (Prof. Czado) Pfad 1 Mathematische Statistik (Stochastik 4) Computational Statistics Lineare Modelle mit Anwendungen Moderne Regressionsverfahren Zeitreihenanalyse

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit

3 Scheine wahlweise aus Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik, Moderne Regressionsverfahren, Zeitreihenanalyse, Computational Statistics

Schein aus einem Lehrstuhlseminar

M5: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie

Arbeitsgebiete (Prof. Spohn): Mathematische Physik

Statistische Physik. Wir untersuchen die stochastische Dynamiken von wechselwirkenden Teilchen. Dabei geht es um die Existenz von stationären Massen, Phasenübergänge, Selbstähnlichkeit und Skalenverhalten. Dabei wollen wir insbesondere die nichtreversiblen Dynamiken, wie sie zum Beispiel in Wachstumsprozessen auftauchen, verstehen.

Quantenmechanik. Mit Methoden der funktionalen Integration untersuchen wir die statistischen Eigenschaften des Grundzustands einer Ladung gekoppelt an das quantisierte Strahlungsfeld. Eine zweite Schiene ist die Ableitung einer effektiven semiklassischen Dynamik im adiabatischen Limes, insbesondere die Separation in schnelle und langsame Freiheitsgrade.

Coulombsysteme. Wir betrachten klassische Ladungen gekoppelt an das Maxwell Feld. Für wenige Ladungen geht es um die Ableitung der Coulomb Dynamik plus höhere Korrekturen, inklusive der Rückwirkung der Abstrahlung. Bei vielen Ladungen untersuchen wir als Kontinuumstheorie das Vlasov-Maxwell System.

Abschlussarbeit in den Studiengängen: Mathematik, Technomathematik und LaG Mathematik

Vorlesungspfade (Prof. Spohn) Pfad 1 Vorlesungen zur Funktionalanalysis und Spektraltheorie Pfad 2 Vorlesungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Theorie der Stochastischen Prozesse Pfad 3 Vorlesungen zur Theoretischen Physik, insbesondere Quantenmechanik und Statistische Physik

M6: Mathematische Modellbildung

Arbeitsgebiet (Prof. Brokate): Angewandte Analysis

Dynamische Systeme mit Gedächtnis. Wenn sich mehrere Größen zeitabhängig entwickeln, kommt es häufig vor, dass "im Hintergrund" Prozesse ablaufen, deren Auswirkung als Gedächtnis für jene Größen aufgefasst werden kann. Solche Systeme treten auf etwa in der Mechanik (Plastizität, Formgedächtnismaterialien), in der Elektrotechnik (Ferromagnetismus) und in der Wirtschaftswissenschaft (Nachwirkung vergangener Ereignisse auf Gleichgewichte). Ihre mathematische Beschreibung führt u.a. auf Evolutionsungleichungen und Hystereseoperatoren. Deren Analysis und Numerik bildet einen Schwerpunkt des Arbeitsgebiets.

Mathematische Modellierung von Problemen der Mund-, Kiefer- und Gesichtschirurgie. In Kooperation mit dem Klinikum rechts der Isar werden verschiedene Probleme untersucht, die sich auf die Mechanik und Mikrostruktur der Knochen im Bereich des Kopfes beziehen.

Vorlesungspfade (Prof. Brokate) Pfad 1 Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen Pfad 2 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (Numerik 3), Funktionalanalysis, Numerik partieller Differentialgleichungen (Numerik 4) Pfad 3 Nichtlineare Optimierung, Steuerungstheorie

M7: Analysis

Arbeitsgebiete (Prof. Friesecke): Analysis und Anwendungen

Quantenmechanik von Atomen und Molekülen

Variationsrechnung (insbesondere Minimierungsprobleme aus Physik und Kontinuumsmechanik)

Mehrskalenmethoden (insbesondere Übergang Quantensysteme - klassische Vielteilchensysteme - Kontinuumsmechanik)

Vorlesungspfade (Prof. Friesecke) 5./6. Sem. Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, 1 fortgeschrittene Veranstaltung (Numerik partieller Differentialgleichungen, Spektraltheorie, Quantenmechanik) 7./8. Sem. 2-3 fortgeschrittene Vorlesungen/Seminare; z.B. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Dynamical Systems, Variationsrechnung, Nichtlineare Optimierung, Bereiche Mathematische Physik, Mathematische Modellierung, Numerische Mathematik.

Arbeitsgebiete (Prof. Castrigiano, Prof. Henrichs): Reelle Analysis Die reelle Analysis baut auf der Linearen Algebra und der Analysis der Grundvorlesungen auf und ist deren natürliche Fortsetzung. Sie ist wesentlicher Bestandteil einer Mathematikausbildung an der TUM, die sich an den Erfordernissen von Wissenschaft und Technik orientiert. Diese Erfordernisse ergeben sich aus der zunehmenden Mathematisierung (mathematische Modellbildungen) aller Wissengebiete (von den Ingenieurwissenschaften über Physik, Chemie, Biologie bis zur Medizin und Gentechnik, von den Sozialwissenschaften bis hin zur Linguistik). Die Reelle Analysis stellt Begriffsbildungen und Methoden dazu bereit.

Vorlesungspfade (Prof. Castrigiano, Prof. Henrichs) (nicht notwendig in der angegebenen Reihenfolge) Pfad 1 Maß- und Integrationstheorie, Partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Sobolevräume und Differentialoperatoren, Spektraltheorie linearer Operatoren Pfad 2 Maß- und Integrationstheorie, Fourier-Laplace Transformation, Dynamische Systeme, Spektraltheorie von Partiellen Differentialoperatoren Pfad 3 Fourier-Laplace Transformation, Spezielle Funktionen, Funktionalanalysis, Mathematische Methoden in Physik und Technik, Spektraltheorie linearer Operatoren Pfad 4 Fourier-Laplace Transformation, Spezielle Funktionen, Funktionalanalysis, Wavelets, Spektraltheorie linearer Operatoren

M8: Dynamische Systeme

Arbeitsgebiet (Prof. Scheurle): Dynamische Systeme und Analytische Mechanik Ideen und Konzepte aus der mathematischen Theorie dynamischer Systeme sind höchst nützlich zur Modellierung und Analyse von vielen Evolutionsprozessen in den Naturwissenschaften, in der Technik und in der Wirtschaft. Beispiele sind Bewegungen von Himmelskörpern und anderer mechanischer Systeme, chemische Reaktions-Diffusionsprozesse, Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen, Musterbildungsprozesse in diversen Medien, Schwingungen von elastischen Materialien, Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen, zeitliche Entwicklung von Populationen oder Märkten. Der Arbeitsschwerpunkt liegt im Bereich der Analyse des qualitativen Verhaltens der Lösungen von Differentialgleichungsmodellen. Im Vordergrund der Untersuchungen stehen Bifurkations-, Stabilitäts- sowie Störungseigenschaften von Lösungen und die Interpretation für die dadurch beschriebenen dynamischen Prozesse hinsichtlich des Langzeitverhaltens, oder des Auftretens komplexer nichtlinearer Phänomene wie Chaos oder Turbulenz. Neben Beiträgen zur grundlegenden mathematischen Theorie werden konkrete Modellprobleme aus dem oben erwähnten Themenkreis studiert. Methodisch liegt der Schwerpunkt auf analytischen Verfahren. Daneben werden aber auch Methoden zur Simulation und Visualisierung des Verhaltens dynamischer Systeme auf Computern entwickelt und benutzt. Es gibt mehrere gemeinsame Projekte mit Partnern an Universitäten im europäischen Ausland und in den USA. Gefördert werden diese Arbeiten durch die DFG im Graduiertenkolleg "Angewandte Algorithmische Mathematik" und im Sonderforschungsbereich 438 "Mathematische Modellierung, Simulation und Verifikation in materialorientierten Prozessen und intelligenten Systemen" sowie durch die Europäische Union im Rahmen des Research Training Network "Mechanics and Symmetry in Europe (MASIE)".

Vorlesungspfade (Prof. Scheurle) Pfad 1 Funktionalanalysis (Maß- und Integrationstheorie, Topologie), Partielle Differentialgleichungen (Stochastische Differentialgleichungen), Dynamische Systeme (Nichtlineare Dynamik, Verzweigungstheorie) Pfad 2 Dynamische Systeme (Kontrolltheorie), Variationsrechnung (Darstellungstheorie klassischer Gruppen), Analytische Mechanik (Hamiltonsche Mechanik, Mathematische Methoden der Kontinuumsmechanik) Pfad 3 Partielle Differentialgleichungen, Dynamische Systeme, Mathematische Modelle in der Biologie

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit Schein aus einem einschlägigen Hauptseminar

Arbeitsgebiet (Prof. Suris): Dynamische Systeme, Differentialgeometrie, Geometric Integration, Diskretisierungen in Analysis, Mechanik, Funktionentheorie und Differentialgeometrie Diskretisierungen der Strukturen der Analysis, Mechanik, Funktionentheorie und Differentialgeometrie sind von großer Wichtigkeit, sowohl vom theoretischen als auch vom angewandten Standpunkt. Einerseits, ist die Diskretisierung einer Theorie ein notwendiger Schritt für deren numerische Behandlung und Modellierung. Andererseits, gewinnt man oft durch Diskretisierung entscheidende Einblicke in die grundlegenden Eigenschaften der jeweiligen Theorie. Dafür ist es von großer Bedeutung, die fundamentalen qualitativen Eigenschaften einer Theorie zu erkennen und zu respektieren. Bei der konkreten systematischen Verfolgung dieser Grundidee sind bereits neue mathematische Gebiete entstanden, wie Geometric Integration (numerische Behandlung von dynamischen Systemen, die geometrische Eigenschaften wie z.B. Symplektizität, Stabilität, Dissipativität usw. erhält und wiedergibt), Diskrete Differentialgeometrie (Untersuchung der diskreten Kurven und Flächen). Laufende Untersuchungen beziehen sich hauptsächlich auf die Aspekte dieser Theorien, die von der Theorie integrabler Systeme inspiriert werden. Man benutzt die mannigfaltigen Methoden dieser Theorie (inverse Spektralmethode, Faktorisierung in den Schleifengruppen, algebro-geometrische Integration) und verbindet diese mit den differentialgeometrischen Ansätzen. Bei der Diskretisierung der Funktionentheorie werden die Ideen über Kreispackungen und Kreismuster ausgearbeitet, insbesondere wiederum die integrablen Aspekte dieser Theorie. Auch die nicht-integrable (chaotische) Dynamik endlichdimensionaler Systeme wird untersucht, hauptsächlich die schwierigen analytischen Fragen der exponentiell kleinen Effekten.

Vorlesungspfade (Prof. Suris) Pfad 1 Funktionentheorie, Differentialgeometrie, Dynamische Systeme (Nichtlineare Dynamik), Integrable Systeme Pfad 2 Numerik der gewöhnlichen Differentialgleichungen (III), Partielle Differentialgleichungen, Dynamische Systeme (Nichtlineare Dynamik), Hamiltonsche Mechanik.

Bedingungen für die Vergabe einer Diplomarbeit Schein aus einem einschlägigen Hauptseminar

Arbeitsgebiet (Prof. Dorfmeister): Differentialgeometrie, Integrable Systeme Geometrie ist eines der klassischen Gebiete, die nichtlineare Phänomene behandeln. Beispiele hierfür sind die Flächen konstanter mittlerer Krümmung und die Flächen konstanter Gaußkrümmung im Raum. Sie werden durch hochgradig nichtlineare partielle Differentialgleichungen beschrieben. Ziel der laufenden Untersuchungen ist es, alle Lösungen der entsprechenden Differentialgleichungen zu finden und insbesondere solche mit speziellen, gewünschten Eigenschaften. Konkrete, computergestützte Visualisierungen sind erwünscht. Allgemeiner werden harmonische Abbildungen zwischen symmetrischen Räumen untersucht. Methodisch wird eine klassische Darstellung von Weierstrass, die bei der Beschreibung von Minimalflächen sehr nützlich ist, verallgemeinert. Dazu verwendet man neben den üblichen Begriffsbildungen der Differentialgeometrie auch Schleifengruppen, Lösungen des Riemann-Hilbertschen Problems und die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen in komplexen Gebieten. Diese Arbeitsrichtung hat viele Berührungspunkte mit der Theorie der integrablen Systeme und der klassischen Solitonengleichungen.

Vorlesungspfade (Prof. Dorfmeister) Pfad 1 Differentialgeometrie, Partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung Pfad 2 Differentialgeometrie, Analytische Mechanik, Funktionalanalysis

M9: Kombinatorische Geometrie

Arbeitsgebiet (Prof. Gritzmann): Diskrete Mathematik und Optimierung Vielen theoretischen und praktischen Problemen liegen diskrete Strukturen zugrunde, über denen lineare, konkave oder konvexe Funktionen maximiert werden sollen. Um hierfür effiziente Algorithmen zu entwickeln, ist zunächst eine strukturelle Analyse der zugrundeliegenden mathematischen Objekte nötig. In unserer Arbeitsgruppe werden Forschungsarbeiten durchgeführt, die oftmals durch Probleme aus den folgenden Bereichen motiviert sind:

Mittels gemischt ganzzahliger Optimierung können verschiedenste, praxisrelevante Probleme modelliert werden, z.B. Produktionsplanung, Planung des öffentlichen Verkehrs, VLSI-Placement, Airline-Crew-Planung, Routenplanung, Netzwerk-Dimensionierung, kombinatorische Auktionen. Gelöst werden diese Optimizerungsprobleme üblicherweise unter Verwendung von LP-basierten Branch-and-Cut-Verfahren. In diesem Zusammenhang beschäftigen wir uns insbesondere mit dem Generieren von Schnittebenen, Heuristiken zur Erzeugung von zulässigen Lösungen und Algorithmen zur Vereinfachung von Problemen (Preprocessing). Der Schwerpunkt liegt dabei auf Verfahren, die die (kombinatorische) Strukur des jeweiligen Problems ausnutzen.

Wichtige Optimerungsprobleme ergeben sich bei der Allokation von Ressourcen, wenn z.B. ein Bild möglichst teuer an eine Person ein grösseren Gruppe verkauft werden soll. Wäre die Zahlungsbereitschaft der Teilnehmer bekannt, so wäre lediglich deren Maximum zu bestimmen. Da aber die Teilnehmer nur ihren eigenen Interessen verpflichtet sind, kann nicht auf ihre ehrliche Kooperation gehofft werden oder diese erzwungen werden; stattdessen muß eine Situation geschaffen werden, in der die Ehrlichkeit der Teilnehmer in ihrem besten Interesse ist. Wenn es nur um ein einzige Bild geht, so ist das Verfahren, die englische Auktion, wohlbekannt; wenn aber mehrere Güter gleichzeitig zu verkaufen sind bei sogenannten kombinatorischer Auktionen, so wird das sehr komplex; für einige Beispiele und Applets siehe hier. Ferner werden Optimierungsprobleme aus dem Bereich der Wirtschaft (speziell Allokation von Ressourcen im Bankgeschäft und Optimierung von Bewirtschaftungskosten in der Landwirtschaft) bearbeitet.

Algorithmen für Kreisstrukturen in Graphen: Es werden Optimierungsprobleme untersucht, die durch Erzeugung und Untersuchung bestimmter zyklischer Substrukturen in Graphen gelöst werden können.

In der Elektrotechnik sind z.B. bei der Simulation von Schaltkreisen dünn besetzte Kreisbasen des Modellgraphen nützlich.

Ringstrukturen von molekularen Graphen helfen in der algorithmischen Chemie u.a. dabei, das passende Molekül in einer großen Datenbank schnell zu finden.

Die Nebenbedingungen, die bei der Erstellung optimaler periodischer Fahrpläne des öffentlichen Nahverkehrsauftreten, lassen sich durch Kreise modellieren (Zusammenarbeit mit der MVG München)

Ein aktueller Forschungsschwerpunkt ist die diskrete Tomographie. Das zentrale Problem der diskreten Tomographie ist ill-posed, so daß dieses Gebiet ein wichtiges Paradigma für eine sich noch in den Anfängen befindliche Theorie der diskreten inversen Probleme darstellt.

Arbeitsgebiet (Prof. Gritzmann): Angewandte Geometrie Es werden verschiedene Probleme aus der Konvexgeometrie, der Algorithmischen Geometrie und der Computational Convexity behandelt, die durch konkrete Anwendungen u.a. in der Medizin, der Physik und der Linguistik motiviert sind.

Vor allem im Bereich der algorithmischen Bestimmung wichtiger geometrischer Funktionale konnten in den letzten Jahren grundlegende Ergebnisse erzielt werden, die internationale Beachtung fanden und finden. Hier führten neuartige Ideen zu exakten und approximativen polynomialen Lösungsalgorithmen und fast immer konnte eine sehr genaue Klassifikation der algorithmischen Komplexität (z.B. NP- oder APX-Vollständigkeit) dieser Funktionale gegeben werden.

In einem aktuellen Projekt werden in enger Zusammenarbeit mit Medizinern der Ludwig-Maximilians-Universität München derzeit die mathematischen Grundlagen für eine präzise, automatisierte Korrekturplanung für operative Korrekturmaßnahmen an menschlichen Extremitätenknochen entwickelt. Hierbei spielen z.B. Fragestellungen im Zusammenhang mit der Berechnung innerer und äußerer Radien konvexer Polytope eine Rolle.

In weiteren Kooperation mit Wissenschaftlern an der Poliklinik für Psychologie der TUM und dem Interdisziplinären Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen der Universität Heidelberg werden Fragen untersucht, die auf der mathematischen Seite geometrische Algorithmen zur Mustererkennung und zur Bestimmung der Konditionierung von polytopalen Gitterstrukturen erfordern.

Vorlesungspfade (Prof. Gritzmann) Pfad 1 Optimierung 1, Optimierung 2, Optimierung 3, Spezialvorlesungen (z.B: Angewandte ganzzahlige Optimierung; Optimierungsmodelle: von der Theorie zur Praxis; Diskrete Tomographie; Algorithmische Graphentheorie; Semidefinite Programmierung: Von der Problemstellung bis zur Optimierungssoftware) Ergänzungen (Seminare zu verschiedenen Schwerpunktthemen, etwa: Auktionen: Effizienz und Optimalität; Diskrete Tomographie; Ganzzahlige Optimierung)

Arbeitsgebiet (Prof. Taraz): Zufällige diskrete Strukturen Die probabilistische Analyse von Algorithmen beurteilt Verfahren nach ihrer durchschnittlichen Leistung (daher oft auch average-case Analyse genannt) und vermeidet auf diese Weise den übertriebenen Pessimismus von worst-case Paradigmen. Sie unternimmt damit in gewisser Weise den Versuch, das in der Praxis beobachtete Verhalten zu erklären und theoretisch abzusichern. Es liegt auf der Hand, dass hierzu eine genaue Kenntnis von typischen Struktureigenschaften benötigt wird.

Für viele dieser Eigenschaften gelten 0-1-Gesetze, d.h. sie werden mit hoher Wahrscheinlichkeit angenommen oder mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht angenommen. Die Evolution dieser typischen Eigenschaften enthält faszinierende Phasenübergänge: Verändert man das Wahrscheinlichkeitsmodell, so tauchen plötzlich neue Eigenschaften auf, während andere verschwinden. Besonders interessante Phänomene treten auf, wenn man Wahrscheinlichkeitsverteilungen betrachtet, die sich nicht durch lokale, unabhängige Experimente modellieren lassen, sondern beispielsweise durch Gleichverteilungen auf speziellen Klassen oder durch zufällige diskrete Prozesse gegeben sind.

Ein konkreter Anwendungsbereich solcher Untersuchungen besteht in der Modellierung und Simulation von realen komplexen Netzwerken, beispielsweise in der Informationstechnologie oder in Form von großen Datenbanken in der Bioinformatik. Empirische Daten zeigen, dass Netzwerke dieser Art überraschend starke Ähnlichkeiten untereinander aufweisen (bezüglich Dichte, Durchmesser, Gradverteilung oder lokalen Clustern). Die Grundaufgabe liegt darin, durch den Entwurf stochastischer Netzwerkmodelle, die diese Charakteristika ebenfalls nachbilden, weitere Eigenschaften zu prognostizieren, auf die sich dann die Entwicklung effizienter Algorithmen zur Lösung elementarer Aufgaben (wie Suchen, Speichern und Sortieren) stützen kann.

Arbeitsgebiet (Prof. Taraz): Extremale Kombinatorik Extremale Kombinatorik befasst sich mit den Zusammenhängen zwischen gewissen Eigenschaften kombinatorischer Strukturen. Klassische Fragestellungen sind beispielsweise: - Ab wievielen Kanten muss ein Graph einen bestimmten Subgraphen enthalten? - Wie groß kann eine Familie von Teilmengen, die sich paarweise nicht enthalten, höchstens sein? - Wieviele Knoten kann ein Graph, der weder eine Clique noch eine stabile Menge einer bestimmten Größe enthält, höchstens haben?

Probleme dieser Art entstammen häufig anderen Gebieten wie der Zahlentheorie, Geometrie, Informatik oder Informationstheorie. Ihre Lösung beinhaltet einerseits den Umgang mit Optimierungsproblemen sowie andererseits elegante induktive, algebraische oder probabilistische Existenzbeweise.

Arbeitsgebiet (Prof. Kist, Prof. Kroll, Prof. Sörensen): Geometrie Fünf mögliche Stränge, die die Geometrie betreffen. Bei den Vorlesungen in den Strängen handelt es sich nur um Vorschläge. Die Vorlesungen lassen sich auch anders kombinieren. Insbesondere ist auch möglich, eine Vorlesung zu verstehen, ohne den gesamten Stoff einer im Vorlesungspfad vorangegangenen Vorlesung parat zu haben. Es wird immer auf die Vorkenntnisse der Studenten Rücksicht genommen.

Vorlesungspfade (Prof. Kist, Prof. Kroll, Prof. Sörensen) Pfad 1 Proseminar über Geometrie (4. Sem.), Analytische Geometrie 1, Analytische Geometrie 2, Grundlagen der Geometrie 1, Grundlagen der Geometrie 2 (= Nichteuklidische Geometrie) Pfad 2 Proseminar über Geometrie (4. Sem.), Grundlagen der Geometrie 1, Grundlagen der Geometrie 2, Kreisgeometrie, Spezielle Relativitätstheorie und hyperbolische Geometrie Pfad 3 Proseminar über Geometrie (4. Sem.), Projektive Geometrie, Projektive Ebenen, Gruppentheoretische Begründung der Geometrie, Verbandstheorie Pfad 4 Proseminar über Geometrie (4. Sem.) Algebra, Algebra 2 (= Galoistheorie), Gruppentheoretische Begründung der Geometrie, Nichteuklidische Geometrie Pfad 5 Proseminar über Geometrie (4. Sem.), Grundlagen der Geometrie 1, Grundlagen der Geometrie 2, Topologie

M10: Geometrie und Visualisierung

Arbeitsgebiet (Prof. Richter-Gebert): Geometrie und Visualisierung * Grundlegende Konzepte der Geometrie   - Projektive Geometrie   - Geometrische Invariantentheorie   - Elementargeometrie   - Hyperbolische Geometrie   - Geometrische Symmetriegruppen

* Computergestütze Geometrie   - Automatisches Beweisen   - Dynamische Geometrie   - Geometrische Visualisierung   - Schnittstellen zu Funktionentheorie, Dynamische Systeme und Fraktale   - Experimentelle Mathematik   - Programmdesign für Geometriesoftware

* Kombinatorische Geometrie   - Polytoptheorie   - Orientierte Matroide   - Computational geometry

* Exotisches   - Alternative Userinterfaces   - Geometrischer Modellbau   - Vermittlung von Mathematim im Elementarbereich   - Geometrie der Quanteninformationstheorie

Vorlesungspfade (Prof. Richter-Gebert) Pfad 1 Projektive Geometrie (Differentialgeometrie) Computergestützte Geomtrie (Polytoptheorie, Kombinatorische Geometrie, Polytoptheorie) Pfad 2 Projektive Geometrie Nicht Euklidische Geometrie (Algebraische Geometrie, Kreisgeometrie) Pfad 3 Projektive Geometrie (Angewandte Geometrie) Praktika/Seminare zum Computereinsatz in der Geometrie Modellbauseminar

Arbeitsgebiet (Prof. Hartl): Differentialgeometrie

Vorlesungspfade (Prof. Hartl) 3./4. Sem. Geometrie 1,2 5./6. Sem. Differentialgeometrie 1,2, Angewandte Geometrie Desweiteren: Projektive Differentialgeometrie Algebraische Kurven Perlen der Geometrie

M11: Algorithmische Algebra

Arbeitsgebiet (Prof. Kemper): Algebra, Invariantentheorie

Vorlesungspfade (Prof. Kemper) Pfad 1 Algebra/Zahlentheorie I Algebra/Zahlentheorie II Vorlesungen wie Invariantentheorie Darstellungstheorie Algebraische Geometrie Codierungstheorie Pfad 2 Computeralgebra Codierungstheorie

Arbeitsgebiet (Prof. Heise, PD Dr. Honold): Codierungstheorie Algebraische Theorie der fehlerkorrigierenden Codes

Vorlesungspfade (Prof. Heise, PD Dr. Honold) Pfad 1 Algebra, inkl. endliche Körper, evtl. Ringe und Moduln, Zahlentheorie Informations- und Codierungstheorie Pfad 2 Algebra, inkl. endliche Körper, Grundlagen der Geometrie evtl. Zahlentheorie, Kombinatorik

Arbeitsgebiet (Prof. Roesler): Analytische und Additive Zahlentheorie Untersuchung von Teilbarkeitsfragen in Folgen natürlicher Zahlen, insbesondere Fragen nach der Dichte von Primzahlen und Primteilern in solchen Folgen. (Beispielsweise ist die Frage von Landau, ob die Folge der Quadratzahlen plus 1 unendlich viele Primzahlen enthält, bis heute nicht beantwortet.) Untersuchungen zur Dichte von Summe und Differenz ganzzahliger Folgen.

Vorlesungspfade (Prof. Roesler) (nicht notwendig in der angegebenen Reihenfolge) Pfad 1 Algebra, Galoistheorie, Funktionentheorie 2, Elementare Zahlentheorie, Zahlentheorie 1,2, Kombinatorik Pfad 2 Algebra, Elementare Zahlentheorie, Zahlentheorie 1, 2, Funktionentheorie 2, Kombinatorik

M12: Biomathematik

Die Lehr- und Forschungseinheit M12 ist assoziiert mit dem Institut für Biomathematik und Biometrie (IBB) am GSF-Forschungszentrum für Umwelt und Gesundheit (Neuherberg). Näheres zum IBB. Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Für Studierende im Hauptstudium bieten wir eine Reihe von Optionen für Praktika, Projekte und Diplomarbeiten an. Die Praktika und Projekte sind in der Regel interdisziplinär ausgerichtet (mit Bezug zu Fragestellungen aus der Biologie, Medizin und Ökologie); siehe dazu die Homepage des IBB. Bei Diplomarbeiten ergibt sich die Möglichkeit, sowohl anwendungsorientierte als auch rein mathematische Themen zu bearbeiten.

2 Arbeitsbereiche:

Arbeitsgebiet (Prof. Lasser): Analysis Vor dem Hintergrund der Anwendung mathematischer Methoden in den Lebenswissenschaften werden Themen aus den Bereichen Fourieranalysis, Harmonische Analysis, Approximationstheorie und numerische Analysis bearbeitet.

Vorlesungspfad 1 (grundlagenorientiert) Pfad 1 Maß- und Integrationstheorie Funktionalanalysis, Fourier- und Laplace-Transformation, Spektraltheorie Optional: - Harmonische Analysis, - Approximationstheorie, - Banach Algebra

Vorlesungspfad 2 (anwendungsorientiert) Pfad 1 Funktionalanalysis, Fourier- und Laplace-Transformation, Numerik Optional: - Mathematische Methoden in der Signal- und Bildverarbeitung, - Mathematische Grundlagen der Tomographie - Wavelets - Zeit-Frequenz-Analyse - Mathematische Grundlagen der Lerntheorie

Arbeitsgebiet (Prof. Müller, Prof. Lasser): Biomathematik Biomathematik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die durch Fragen aus der Biologie motiviert sind. Hierzu gehören beispielsweise die mathematische Modellierung und Analyse biologischer Systeme in Struktur und Dynamik.

Vorlesungspfad (Biomathematik)

Pfad 1 Mathematische Modelle in der Biologie, Statistik in den Biowissenschaften Fourier- und Laplace-Transformation, Optional: - Mathematik der Systemtheorie, - Dynamische Systeme, - Zeitreihenanalyse

M13: Finanzmathematik

In der modernen Finanzmathematik werden Antworten auf verschiedene Fragen gesucht: Wie bewertet man derivative Wertpapiere rational, deren Auszahlung in komplexer Weise von zugrunde liegenden Wertpapieren abhängt? Wie kann man durch geschickte Wahl einer dynamischen Anlagestratgie das Kursrisiko minimieren, dem man durch den Verkauf solcher Derivate ausgesetzt ist(Hedging)? Wie lässt sich das von vielen Unsicherheitsfaktoren abhängige Verlustrisiko eines Portfolios quantifizieren? Zur mathematischen Behandlung dieser Fragen sind Kenntnisse und Methoden verschiedener Bereiche nützlich: Die Theorie stochastischer Prozesse incl. stochastischer Integration bildet den natürlichen Ausgangspunkt; statistische Methoden sind gefragt, wo es um realistische Modellierung geht; mit numerischen Verfahren werden die Preisformeln, die z. B. in Form von partiellen Differentialgleichungen vorliegen, gelöst; und Begriffe der Funktionalanalysis sowie Optimierung kommen etwa dort zum Tragen, wo Anlagestrategien in optimaler Weise ausgewählt werden sollen.

Vorlesungspfade (Prof. Kallsen, Prof. Zagst) Pfad 1 Wahrscheinlichkeitstheorie Stochastische Prozesse Stochatische Analysis (zeitstetige Finanzmathematik, stoch. Integration, stoch. Differentialgleichungen) weitere Vorlesungen aus den Bereichen: Finanzmathematik, Statistik, Numerik Pfad 2

Nichtlineare Optimierung Discrete-Time Finance Portfolio Theory and Asset Pricing weitere Vorlesungen aus Pfad 3 Risk Management Credit Risk Management Ausgewählte Kapitel aus der Portfolio Theorie Pfad 3 Stochastische Prozesse Continuous-Time Finance Fixed Income Markets weitere Vorlesungen aus Pfad 2 Risk Management Credit Risk Management
 

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